Correr o andar cuando llueve, una solución matemática
:física: :matemáticas:
Hace mucho tiempo que me pregunto si se debe andar o correr bajo la lluvia para reducir la mojadura que uno, inevitablemente, coge al ir sin paraguas en exteriores por las calles de Santiago de Compostela. Si bien una persona mentalmente estable lo buscaría en Google y quedaría satisfecha con las respuestas obtenidas, yo me he decantado por hacer un modelo matemático que resuelva una vez por todas mi duda.
Una posible respuesta a esta pregunta parece haber sido dada ya por Bocci en el año 1976, quien llegó a la conclusión de que es mejor correr que andar [5], pero (a) yo no conocía este hecho hasta después de escribir este texto y (b) el cálculo que realizó no es accesible gratuitamente online, pues es necesario pagar a la revista para acceder al mismo. Debido a esto, se debe entender este post como una revisión por pares de ese primer paper, y no como una innovación total en el sector de la paragüería.
El modelo
Para comenzar a resolver el problema se han de efectuar ciertas simplificaciones que permitan llevar adelante los cálculos de forma más sencilla: primero, se reducen a dos las dimensiones del mismo; Segundo, se asume que las personas son cuadradas y se mueven a una velocidad constante; Tercero y último, las gotas de lluvia no tienen dimensiones, fricción o velocidad. Estos son supuestos razonables y comunes en cálculos físicos, pues no hacen perder demasiada precisión al modelo y aumentan enormemente la simplicidad de este.
Sobre las entidades que aparecen en el modelo, se tiene primero al transeúnte, al que se llamará \(o\). Esta persona camina horizontalmente a una velocidad \(v_o\) entre los puntos \(x_0\) y \(x\), tiene una altura \(h_o\) y una anchura \(w_o\). Por su lado, la lluvia \(r\) cae a una velocidad \(v_r\) y tiene una densidad \(d_r\). La densidad de la lluvia se mide en la mega-científica unidad de gotas por metro cuadrado. El resto de unidades usan el sistema estándar: metros por segundo para las velocidades, metros para las distancias, etc.
Con las entidades establecidas, se calcula la cantidad de gotas de agua con las que la persona chocará solo por pasar caminado por la calle, sin tener en cuenta las que le caen encima. Esta cantidad, a la que se llamará \(Q_{hws}\), viene dada por la siguiente fórmula, que tiene en cuenta que esta cantidad será proporcional a la distancia recorrida (\(x-x_0\)), porque a más distancia más se moja uno; a la altura de la persona (\(h_0\)), porque ser más alto implica que hay más superficie con la que el agua puede chocar; y a la densidad de la lluvia (\(d_r\)), porque a más gotas por metro cuadrado, más se mojará el transeúnte:
\[Q_{hws} =(x-x_0)h_0d_r\]Véase que esta cantidad es indiferente de la velocidad, tanto del transeúnte como de la lluvia. Esto se debe a que la cantidad de gotas de agua ya presentes en el camino antes del paso de la persona por el mismo es constante, por ser su densidad y velocidad de caída constantes también.
Otro parámetro importante será la cantidad de gotas de agua que chocarán de frente con la persona al caer estas contra la misma. El parámetro anterior, \(Q_{hws}\), unicamente tenía en cuenta el agua ya presente en el camino, pero este dependerá también de la velocidad de la lluvia (\(v_r\)), ya que si cae más rápido, choca más; será inversamente proporcional a la velocidad del observador (\(v_o\)), porque si va uno más rápido, le dará menos tiempo a la lluvia para caer; y dependerá del ángulo en el que cae la lluvia (\(\alpha\)), que será corregido (\(\alpha-\pi\)) para que \(0\) represente lluvia horizontal y \(\frac{2}{3}\pi\) lluvia perfectamente vertical. La fórmula para \(Q_{hwf}\) es:
\[Q_{hwf} =(x-x_0)h_0d_rv_o^{-1}v_rcos(\alpha-\pi)\]Un valor negativo en esta cantidad indica que las gotas de lluvia han chocado por la espalda de la persona.
Podemos combinar las dos cantidades anteriores, \(Q_{hws}\) y \(Q_{hwf}\), para obtener una nueva cantidad, \(Q_{hw}\), que represente la cantidad total de lluvia que colisiona horizontalmente con la persona mientras anda:
\[Q_{hw} =Q_{hws}+Q_{hwf} =(x-x_0)h_od_r(1+v_o^{-1}v_rcos(\alpha-\pi))\]El siguiente paso es más complicado, consistiendo en el cálculo de las gotas de agua que colisionan horizontalmente con el observador cuando este entra y sale de la lluvia. Dado que entrar en la lluvia es equivalente a pasar de tener una anchura (\(w_o\)) nula a tener anchura completa, este valor se puede calcular con la integral siguiente (multiplicada por \(2\) para tener en cuenta que se entra y se sale de la lluvia):
\[\begin{align} \frac{\partial Q_{he}}{\partial w_o}=2Q_{hw}\Rightarrow Q_{he} &=2\int_0^{w_0}{Q_{hw}dw_o}=\\ &=2\int_0^{w_0}{(x-x_0)h_od_r(1+v_o^{-1}v_rcos(\alpha-\pi))dw_o} \end{align}\]De ahí, como se da el caso de que \(x=w_o+x_0\), debido a que el desplazamiento que se realizará al entrar en la lluvia es el ancho de la persona, entonces \(x-x_0=w_o\), resultando en:
\[\begin{align} Q_{he} &=2\int_0^{w_0}{w_oh_od_r(1+v_o^{-1}v_rcos(\alpha-\pi))dw_o}=\\ &=w_o^2h_od_r(1+v_o^{-1}v_rcos(\alpha-\pi)) \end{align}\]Ahora toca repetir el mismo proceso anterior, pero para la cantidad de lluvia que cae sobre la persona mientras anda, \(Q_{vw}\). Obsérvese que esta cantidad aumenta tanto al aumentar la cantidad de lluvia (\(d_r\)), su velocidad de caída (\(v_r\)), el ancho de la persona (\(w_o\)) y la distancia recorrida (\(x-x_0\)), mientras que disminuye al aumentar la velocidad (\(v_0\)). También se tiene en cuenta el ángulo al que cae la lluvia (\(\alpha\)), con la misma corrección que se le aplicó anteriormente. El motivo para que \(Q_{vw}\) tenga solo un término, a diferencia de \(Q_{hw}\), es que, dado que la persona solo se desplaza horizontalmente, no se encuentra con lluvia que ya estuviese presente encima de ella, a no ser que esta le caiga encima, que es el valor aquí calculado.
La fórmula de \(Q_{vw}\) es:
\[Q_{vw} =d_rw_o\frac{x-x_0}{v_o}v_rsin(\alpha-\pi)\]Conociendo \(Q_{vw}\), se puede calcular la cantidad de gotas que caen sobre el observador cuando este está entrando y saliendo de la lluvia \(Q_{ve}\), de forma paralela a como se hizo con \(Q_{hw}\) y \(Q_{he}\):
\[\begin{align} \frac{\partial Q_{ve}}{\partial w_o}=2Q_{vw}\Rightarrow Q_{ve} &=2\int_0^{w_o}{Q_{vw}dw_o}=\\ &=2\int_0^{w_o}{d_rw_o\frac{x-x_0}{v_o}v_rsin(\alpha-\pi)\ dw_o} \end{align}\]Dado que en este caso se tiene que \(x=x_0+\frac{1}{2}w_o\) y la constante resultado de la integral es 0, porque su valor representaría “cuántas gotas han entrado en contacto con la persona antes del cálculo”, que no es interesante tener en cuenta para esta situación (algo válido también para las anteriores integrales), se tiene:
\[\begin{align} Q_{ve} &=2\int_0^{w_o}{d_r\frac{w_o^2}{2v_o}v_rsin(\alpha-\pi)\ dw_o} =d_rv_o^{-1}v_rsin(\alpha-\pi)\int_0^{w_o}{w_o^2dw_o}=\\ &=d_r\frac{w^3_o}{3v_o}v_rsin(\alpha-\pi) \end{align}\]Para finalizar, se suman las cantidades anteriores teniendo mucho cuidado con los valores negativos, dando como resultado la cantidad total de gotas de agua que colisionarían con el observador \(Q_t\):
\[Q_t =Q_{hw}+|Q_{he}|+|Q_{vw}|+|Q_{ve}|\]Resultados del modelo
Con la fórmula final en mano, y sabiendo que la lluvia cae a una velocidad promedio de \(9ms^{-1}\) [1][4], que los homo sapiens andamos a una velocidad media de \(1.42ms^{-1}\) [2] y que la máxima velocidad en carrera alcanzable, demostrada de forma práctica por Usain Volt, es de \(12.22ms^{-1}\) [3], se procede a dar algunos resultados interesantes del modelo.
El resultado más importante es que correr es mejor que andar para reducir la mojadura, pero… ¿A qué velocidad?. La respuesta a esta pregunta depende del ángulo al que cae la lluvia. Para lluvia vertical o que cae de frente, con ángulo de entre 270 y 360 grados, la respuesta es que cuanto más rápido, mejor, porque más se aproximará \(Q_t\) a \(Q_{hws}\). Por el contrario, para lluvia que cae desde atrás, con ángulo de entre 180 y 269 grados, la velocidad óptima a la que correr vendrá dada por la ecuación \(Q_{hws}=Q_{hwf}\), que concluye que \(v_{oo}=v_rcos(\alpha-\pi)\), es decir, se deberá correr a la velocidad de la lluvia por el coseno del ángulo.
El corolario de las proposiciones anteriores es el siguiente:
- Para lluvia perfectamente horizontal, en la misma dirección y sentido en el que se desplaza la persona, la velocidad óptima es la misma que la de la lluvia: \(v_{oo}=v_rcos(-\pi)=v_r=9ms^{-1}\).
- La peor situación, que supone la mayor mojadura, se da cuando la lluvia caiga de forma perfectamente horizontal, con misma dirección y sentido opuesto al movimiento del transeúnte.
Se deja al lector aplicar las fórmulas para obtener la diferencia de mojadura entre Usain Bolt a máxima velocidad y la persona promedio andando para diversos ángulos de lluvia, pues son bastante fáciles de calcular mediante hojas de cálculo.
Conclusiones
Comencé este post convencido de que la mejor estrategia para evitar mojarme cuando se me olvida el paraguas, que viene a ser todos los días, era andar, por reducir la cantidad de lluvia con la que colisiona horizontalmente con mi cuerpo. Como mucho habría pensado que la velocidad de desplazamiento sería indiferente, pero no, estaba equivocado.
Como se ha visto en el modelo, cuando la lluvia es perfectamente vertical, y a falta de viento, la mejor estrategia para no mojarse es correr y no andar. Cuanto más rápido se corra, mejor, pues se reducirá la exposición a la lluvia, siendo esta inversamente proporcional a la velocidad que la persona pueda alcanzar.
Por otro lado, si el viento viniese de nuestras espaldas, existe una velocidad óptima a la que se debe correr. En el caso de que la lluvia fuese perfectamente horizontal y se corriera en su misma dirección, la velocidad óptima sería la misma que la de la lluvia, es decir, \(9ms^{-1}\) [1][4] en la mayoría de los casos, que equivale a un ritmo de 1’51” el kilómetro.
Bibliografía
[1]NASA, «How fast do raindrops fall?», Global Precipitation Measurement. https://www.uu.edu/dept/physics/scienceguys/2001Mar.cfm (accedido 18 de mayo de 2022).
[2]Wikipedia contributors, «Preferred walking speed», Wikipedia, The Free Encyclopedia. 7 de noviembre de 2021. Accedido: 18 de mayo de 2022. [En línea]. Disponible en: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Preferred_walking_speed&oldid=1053970029
[3]Olympic Games 2009, «Usain Bolt 9.58 100m New World Record Berlin [HQ]», Olympic Games 2009, 19 de agosto de 2009. Accedido: 19 de mayo de 2022. [En línea]. Disponible en: https://youtu.be/3nbjhpcZ9_g
[4]Union University, «What is the speed of falling raindrops?», Union University, marzo de 2001. https://www.uu.edu/dept/physics/scienceguys/2001Mar.cfm (accedido 18 de mayo de 2022).
[5]F. Bocci, «Whether or not to run in the rain», Eur. J. Phys., vol. 33, n.º 5, pp. 1321-1332, sep. 2012, doi: 10.1088/0143-0807/33/5/1321.